Contoh Matriks Determinan 4 x 4

Determinan Matriks 4 x 4

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

---

🔢 Langkah 1: Pilih baris atau kolom untuk ekspansi kofaktor

Ekspansi terhadap baris pertama:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot C_{11} - 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} - 4 \cdot C_{14}$$

Di mana $C_{ij}$ adalah determinan minor dari elemen $a_{ij}$, dan tanda bergantian (+ - + -).

---

🧮 Langkah 2: Hitung kofaktor-kofaktor

💠 1. Minor $C_{11}$:

Buang baris ke-1 dan kolom ke-1:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \Rightarrow \text{det} = 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - 2(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 3(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \\ = 1(1) - 2(-2) + 3(-1) = 1 + 4 - 3 = 2$$

💠 2. Minor $C_{12}$:

Buang baris ke-1 dan kolom ke-2:

$$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \Rightarrow \text{det} = 0(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - 2(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 3(1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \\ = 0 - 2(1 - 4) + 3(-2) = -2(-3) - 6 = 6 - 6 = 0$$

💠 3. Minor $C_{13}$:

Buang baris ke-1 dan kolom ke-3:

$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 3(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \\ = 0 - 1(1 - 4) + 3(1) = -1(-3) + 3 = 3 + 3 = 6$$

💠 4. Minor $C_{14}$:

Buang baris ke-1 dan kolom ke-4:

$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + 2(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \\ = 0 - 1(0 - 2) + 2(1) = 2 + 2 = 4$$

---

🧾 Langkah 3: Masukkan semua kofaktor ke dalam ekspansi awal

$$\text{det}(A) = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 4 \\ = 2 + 0 + 18 - 16 = \boxed{4}$$

---

✅ Jadi, determinan dari matriks A adalah 4